矩阵的概念

名  称

阵 列 形 式

说   明

一

般

形

式

矩

阵

m行n列矩阵

(1)mn个数a_ij(i＝1，2，…，m；j＝1，2，…，n)按一定的次序排成m行n列的阵列

(2)矩阵记作A(或B，C…)，也可记作A_m×n或(a_ij)_m×n

(3)a_ij称为矩阵的第i行第j列元素。a_ii称为对角元

方  阵

(1)这是n阶方阵，可记作B_n

(2)方阵的行数与列数相等

(3)b₁₁，b₂₂，…b_nn这条线称为主对角线

行矩阵

A＝(a₁a₂…a_n)

(1)这是1行n列矩阵

(2)行矩阵也称行向量

(3)元素a_i(i＝1，2，…，n)可用一个下标表示

列矩阵

(1)这是n行1列矩阵

(2)列矩阵也称列向量

(3)元素b_i(i＝1，2，…，n)可用一个下标表示

特

殊

形

式

矩

阵

对角阵

(1)这是全部非主对角线元素等于0的方阵

(2)元素a_i(i＝1，2，…，n)表示位于第i行第i列

(3)排列有规律的0元素可以省写

数量矩阵

对角阵的所有对角元都相等

单位阵

(1)单位阵是方阵

(2)所有对角元全为1

(3)单位阵记作I，为说明其阶数，把n阶单位阵记作I_n

上三角阵

n阶方阵的主对角线以下的元素全为零，即u_ij＝0，i＞j

下三角阵

n阶方阵的主对角线以上的元素全为零，即

l_ij＝0，i＜j

上梯形阵

1.当m＜n时

2.当m＞n时

在m行n列矩阵中，对角元以下的元素全为零，即

a_ij＝0，i＞j

下梯形阵

1.当m＜n时

2.当m＞n时

在m行n列矩阵中，对角元以上的元素全为零，即

a_ij＝0，i＜j

零矩阵

所有元素都是零的矩阵，记作0或0_m×n

负矩阵

(1)设A＝(a_ij)_m×n则A的负矩阵为

-A＝(-a_ij)_m×n

(2)-(-A)＝A

矩阵相等

(1)矩阵相等时，对应位置的元素相等，即

a_ij＝b_ij，i＝1，2，…，m

j＝1，2，…，n

记作A＝B

(2)同阶矩阵才能相等

矩阵转置

(1)设A＝(a_ij)_m×n

则A的转置矩阵A^T为A^T＝(a'_ij)_n×m

其中 a'_ij＝a_ji

(2)(A^T)^T＝A

(3)对角阵的转置仍是它自身。特别有I ^T＝I

对称矩阵

(1)对称矩阵必是方阵

其中   a_ij＝a_ji

(2)转置后不变，即

A^T＝A