常用曲线

名称

曲　 线　 图

方 程 式

定义与特性

备　 注

圆

标

准

形

式

直角坐标方程

x²+y²＝R²

极坐标方程

ρ＝R，(参见一般形式的极坐标方程)

参数方程

与定点等距离的动点轨迹

圆心O(0，0)

半径 R

圆心O(ρ＝0)

一

般

形

式

直角坐标方程

(x-a)²+(x-b)²＝R²

极坐标方程

ρ²-2ρρ₀cos(θ-θ₀)+＝R²

参数方程

同上

圆心O'(a，b)

半径 R

圆心O'(ρ₀，θ₀)

椭

圆

直角坐标方程

极坐标方程

(极点在椭圆中心O点)

参数方程

动点P到两定点F₁、F₂(焦点)的距离之和为一常数时，P点的轨迹

-a≤x≤a

2a—长轴(A₁A₂)

2b—短轴(B₁B₂)

2c—焦距(F₁F₂)

e—离心率

，e愈大，椭圆愈扁平

顶点：A₁(-a，0)

A₂(a，0)

B₁(0，-b)

B₂(0，b)

焦点：F₁(-c，0)

F₂(c，0)

焦点半径：

r₁＝PF₁，r₂＝PF₂

r₁＝a-ex，r₂＝a+ex

双

曲

线

直角坐标方程

极坐标方程

(极点在双曲线中心O点)

参数方程

准线l₁：

l₂：

渐近线

动点P到两定点F₁、F₂(焦点)的距离之差为一常数时，P点的轨迹

x≤-a，x≥a

2a—实轴

2b—虚轴

2c—焦距

e——离心率

，e愈小，渐近线与x轴的夹角愈小

顶点：

A₁(-a，0)，A₂(a，0)

B₁(0，-b)，B₂(0，b)

B₁、B₂叫虚顶点

焦点：F₁(-c，0)

F₂(c，0)

焦点半径：

r₁＝PF₁，r₂＝PF₂

r₁＝±(ex-a)，

r₂＝±(ex+a)

抛

物

线

直角坐标方程

γ²＝2px(p＞0)

极坐标方程

(极点在抛物线顶点O点)

参数方程

准线l：

动点P到一定点F(焦点)和一定直线l ( 准线)的距离相等时，动点P的轨迹

离心率e＝1

顶点O(0，0)

焦点F

p——焦点至准线的距离，p愈大抛物线开口愈大，p称为焦参数，p＞0开口向右，p＜0开口向左

焦点半径：r＝PF

r＝x+

渐

开

线

极坐标方程

参数方程

t＝α+θ

一动直线m(发生线)沿一定圆O(基圆)作无滑滚动时，m上任意点(如起始切点A)的轨迹。用于齿形等

R——基圆半径

α——压力角

阿

基

米

德

螺

线

(等

进

螺

线)

极坐标方程

ρ＝αθ

动点沿着等速旋转(角速度ω)的圆的半径，作等速直线运动(线速度υ)此动点轨迹为阿基米德螺线。用于凸轮等

θ——极角

ρ——极径

O——极点

极点到曲线上任一点的弧长为

对

数

螺

线

(等

角

螺

线)

极坐标方程

ρ＝ae^mθ(m，a为常数，均大于零)

动点的运动方向始终与极径保持定角α的动点轨迹。用于涡轮叶片等。用对数螺线作为成型铲齿铣刀铲背的轮廓线时，前角恒定不改变

θ——极角

ρ——极径

α——极径与切线(动点运动方向)间的夹角

曲线上任意两点间的弧长为

圆

柱

螺

旋

线

参数方程

x＝rcosθ

y＝rsinθ

z＝±rθcotβ＝±

(右旋为“+”，左旋为“-”)

圆柱面上的动点M绕定轴z以等角速ω回转，同时沿z轴以等速υ平移，其动点轨迹就是圆柱螺旋线。用于弹簧等

r——圆柱底半径

β——螺旋角

h——导程

h＝2πrcotβ

L——一个导程的弧长

圆

锥

螺

旋

线

参数方程

x＝ρsinαcosθ

y＝ρsinαsinθ

z＝ρcosα

ρ＝aθ

特性：

(1)等螺距

h＝2πacosα

(2)切角与锥面母线夹角β

a——常数

α——半锥角

圆

锥

对

数

螺

旋

线

1.不等螺距

2.切线与锥面母线夹角为定角β

α——半锥角

ρ₀，β——常数

外

摆

线

滚动圆 O₁，沿基圆　 O外部相切滚动，滚动圆上某点P(或圆外P"，圆内P')的轨迹

当内外摆线的a → ∞时，摆线转化为平摆线，当b→∞时，摆线转化为圆的渐开线

a——基圆半径

b——滚圆半径

θ——公转角

θ₁——自转角

l＝O₁P，当

l＝b，为普通摆线Г

l＞b，为长幅摆线Г₂

l＜b，为短幅摆线Г₁

内

摆

线

滚动圆O₁在基圆O内部相切滚动，滚动圆上某点P(或圆外P"，圆内P')的轨迹

a——基圆半径

b——滚圆半径

θ——公转角

θ₁——自转角

l＝O₁P，当

l＝b，为普通摆线Г

l＞b，为长幅摆线Г₂

l＜b，为短幅摆线Г₁

平

摆

线

x＝bt-lsint

y＝b-lcost

定圆沿定直线滚动，圆周上(或圆外，圆内)一点的轨迹

曲率半径＝2PM

一拱弧长＝8b

l＝O₁P，当

l＝b，为普通平摆线

l＞b，为长幅平摆线

l＜b，为短幅平摆线

悬

链

线

两端悬吊的密度均匀的完全柔软曲线，在重力作用下的自然状态所构成的曲线

a——正常数，即距离OA。在顶点附近近似于抛物线