积分应用举例(一)

名　 称

定义及简单情况时公式

一 般 情 况

图　 示

微 分 式

积 分 式

变速直线运动的路程s

s＝υt

υ——常量

ds＝υ(t)dt

t₁≤t≤t₂

液体静压力F

F＝pA

p——压力，为常量

A——受压面积

F——总压力

dF＝p(x)dA＝wxydx

w——流体重度

p(x)＝wx

a≤x≤b

dA＝ydx

式中　　 y＝f(x)

变力F作的功W

W＝F"

F——常力

r——直线位移

dW＝F(x)dx

设力F方向恒定，且与位移方向一致，在一条直线上

W为由a位移到b时所作的功

力场对质点位移所作的功W

dW＝F(x，y，z)dr

＝Xdx+Ydy+Zdz

其中 力场F＝X(x，y，z)i

+Y(x，y，z)j

+Z(x，y，z)k

位移沿曲线C，由A到B

非

均

匀

物

体

的

质

量

m

细线AB的质量

m＝μs

μ——密度，常数(下同)；

s——AB的长度

dm＝μ(x)ds

μ(x)——线密度

薄板D的质量

m＝μA

A——D的面积

dm＝μ(x，y)dA

μ(x，y)——面密度

物体Ω的质量

m＝μV

V——Ω的体积

dm＝μ(x，y，z)dV

μ(x，y，z)——体密度

静

矩

M

曲线AB的静矩

质量为m的质点，对轴l的静力矩M_l为

M_l＝rm

其中r为该质点到轴的距离

dM_x＝yds

dM_y＝xds

对x轴的静矩：

对y轴的静矩：

平面图形D的静矩

dM_x＝ydxdy

dM_y＝xdxdy

对x轴的静矩：

对y轴的静矩：

立体Ω的静矩

质量为m的质点对平面π的静力矩M_π为

M_π＝rm

其中r为该质点到平面π的距离

dM_yz＝xdxdydz

dM_zx＝ydxdydz

dM_xy＝zdxdydz

对yOz平面的静矩：

对xOz平面的静矩：

对xOy平面的静矩：

惯

矩

I

平面图形D的惯矩

质量为m的质点对轴　 l的惯矩I_l为

I_l＝r²m

其中r为该质点到轴　　 l的距离

dI_x＝y²dxdy

dI_y＝x²dxdy

立体Ω的惯矩

dI_x＝(y²+z²)dxdydz

dI_y＝(x²+z²)dxdydz

dI_z＝(x²+y²)dxdydz

电场通过曲面片S的通量Q

Q＝E·S

其中E为常场强矢量，S为以N为法线，面积为S的平面片

dQ＝E·dS

E为变场强，dS为以N为法线的面积为dS的微分曲面片，可以表为

dS＝dydzi+dzdxj+dxdyk

注：1.假设图形有密度μ＝1的有质量的图形的静力矩叫做图形的静矩。

2.假设图形有密度μ＝1的有质量的图形的惯性矩叫做图形的惯矩。