分析法

以铰链四杆机构的函数综合仪的设计为例进行分析。图1a所示铰链四杆机构，其两连架杆角位置Ψ和φ存在函数关系，如果要求实现的运动规律为y＝f(x)(式中x₀≤x≤x_m)，就要选择一组机构参数，使上述两关系相同(精确实现)或接近(近似实现)。连杆机构一般很难完全精确地实现所要求的运动规律。所以设计机构时往往选择一组机构参数，使其中有若干个点(如图1b中x₁、x₂、x₃)是精确地实现的，其他点则是近似地实现，但其误差不超过一定的允许值

图1

设计参数共有7个，即各构件的3个相对长度参数，输入角φ，输出角Ψ的转角范围φ_f和Ψ_f，以及输入角与输出角的起始值φ₀和Ψ₀

精确插值结点用图2的切氏区间法来确定。应用这个方法确定插值结点的横坐标值，在机构误差分析的多数情况中，其极限偏差值相差很小

图2

插值结点的横坐标根据下式确定：

式中　　i＝1、2、…、M

M为精确插值结点的数目，x_m-x₀＝2h为逼近区间。x₀+x_m＝2a，a为区间的中点值

当M＝3时，用内接于半径为h的圆的正六边形求x₁、x₂、x₃的横坐标。当M＝4时，以内接正八边形求x₁、x₂、x₃、x₄的横坐标。求得x_i后即可求出相应的y_i

用分析法设计铰链四杆机构，根据图1a对任一组对应位置可推导出求解的公式

acos(π-φ)+bcosδ+ccosΨ＝1　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(式1)

asin(π-φ)+bsinδ＝csinΨ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(式2)

消去δ得

cosφ＝p₁cosΨ+ p₂cos(φ-Ψ)+p₃　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(式3)

式中　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(式4)

在设计满足三对对应位置关系的铰链四杆机构时，令：

W₁＝cosφ₁- cosφ₂，W₂＝cosφ₁- cosφ₃，W₃＝cosΨ₁- cosΨ₂，

W₄＝cosΨ₁- cosΨ₃，W₅＝cos(φ₁-Ψ₁)- cos(φ₂-Ψ₂)，W₆＝cos(φ₁-Ψ₁)- cos(φ₃-Ψ₃)

以φ_i、Ψ_i(i＝1，2，3)代入方程式(式3)，得：

因而决定了机构的参数a、b、c，如图1b中实线表示Ψ＝F(φ)，虚线表示要求的函数y＝f(x)，Δ表示插值结点以外位置的误差

例　设计四铰链机构实现y＝x^1.5，1≤x≤4

已知条件：x₀＝1，x_m＝4，y₀＝1，y_m＝8。选定φ₀＝30°，φ_f＝90°，Ψ₀＝90°，Ψ_f＝90°

解　1.插值结点的计算，M＝3

2.插值结点的输入角及输出角的余弦值

3.W值

W₁＝cosφ₁-cosφ₂＝0.54989，　　W₂＝cosφ₁-cosφ₃＝1.214967，　　W₃＝cosΨ₁-cosΨ₂＝0.544136，

W₄＝cosΨ₁-cosΨ₃＝0.920102，　　W₅＝cos(φ₁-Ψ₁)-cos(φ₂-Ψ₂)＝-0.073045，

W₆＝cos(φ₁-Ψ₁)-cos(φ₃-Ψ₃)＝0.004895

W₁W₆＝0.002692，W₂W₃＝0.661107，W₃W₆＝0.002664，

W₂W₅＝-0.088745，W₁W₄＝0.505955，W₄W₅＝-0.067209

4.p值

p₃＝cosφ₁-p₁cosΨ₁-p₂cos(φ₁-Ψ₁)＝0.808709-1.3086×(-0.070975)-2.2205×0.529327＝-0.2738校核p₃

p₃＝cosφ₂-p₁cosΨ₂-p₂cos(φ₂-Ψ₂)＝0.258819-1.3086×(-0.615111)-2.2205×0.602372＝-0.2738

5.各构件相对长度d＝1(图3)

图3

6.误差分析

Ψ*＝α₁+α₂(机构实际输出角值)

角度偏差值ΔΨ＝Ψ*-Ψ，函数偏差值

误差分析数据表如下表：

a＝1.6969   b＝2.8073   c＝2.2205   d＝1   1+a²＝3.8795    c²- b²＝-2.9503    2c＝4.4410

φ°

30

18.96

2.6113

70.51

89.47

1

1

90

-0.53

-0.0412

36.03

22.82

2.5737

71.25

94.07

1.201

1.316

94.06

0.01

0.0008

40

25.37

2.5457

71.81

97.18

1.3333

1.5395

96.94

0.24

0.0189

50

31.87

2.4619

73.47

105.34

1.6667

2.1517

104.81

0.53

0.0412

60

38.48

2.3615

75.50

113.98

2

2.8284

113.51

0.47

0.0367

70

45.26

2.2451

77.90

123.16

2.3333

3.5642

122.97

0.19

0.0150

75

48.72

2.1813

79.25

127.97

2.5

3.9528

127.96

0.01

0.0008

80

52.23

2.1140

80.69

132.92

2.6667

4.3546

133.13

-0.21

-0.0164

90

59.49

1.9696

83.90

143.39

3

5.1962

143.95

-0.56

-0.0436

100

67.12

1.8139

87.58

154.70

3.3333

6.0858

155.39

-0.69

-0.0536

110

75.26

1.6488

91.81

167.07

3.6667

7.0210

167.41

-0.34

-0.0264

113.97

78.67

1.5814

93.67

172.34

3.7990

7.4046

172.35

-0.01

-0.0008

120

84.11

1.4773

96.72

180.83

4

8

180.00

0.83

0.0646

注：误差曲线如下图：

对于铰链四杆机构，当按照输入杆和输出杆的给定若干组对应角位移设计时，由于机构的设计参数最多为五个(如a、b、c、φ₀、Ψ₀)，故用精确点逼近设计时，最多只能按五个精确点设计。这时，(式5)应改写为(式5a)

式中，φ_i及Ψ_i分别为输入杆、输出杆相对于其起始角φ₀、Ψ₀的角位移

对于四组对应位置设计时，方程中i＝1、2、3、4，任意选定φ₀(或Ψ₀)值可得到四个联立方程，待求参数为Ψ₀(或φ₀)、p₁、p₂、p₃。设法消去p₁、p₂、p₃先得到一个关于Ψ₀(或φ₀)的代数方程，求出Ψ₀后，将Ψ₀代回原方程中的三个方程联立解出p₁、p₂、p₃，再由(式4)求出a、b、c(d＝1)。对于五组对应位置的设计，方程中i＝1、2、3、4、5，可以列出五个方程，待求参数为φ₀、Ψ₀、p₁、p₂、p₃。先设法消去p₁、p₂、p₃求出φ₀和Ψ₀，然后将φ₀、Ψ₀代回原方程组，由其中三个方程联立解出p₁、p₂、p₃。也可用数值迭代法计算求解