非线性系统的物理性质

在线性系统中，由于有阻尼存在，自由振动总是被衰减掉，只有在干扰力作用下有定常的周期解；而在非线性系统中，如自激振动系统，在有阻尼及无干扰力的情况下，也有定常的周期振动

非线性振动与线性振动不同的特点有如下几个方面(其特性曲线与说明见表1)

1)在线性系统中，固有频率和起始条件、振幅无关；而在非线性系统中，固有频率则和振幅、相位以及初始条件有关。如表1中的第2项

2)幅频曲线出现拐点，受迫振动有跳跃和滞后现象，表中第3项恢复力为硬特性的非线性系统受简谐激振力作用时的响应曲线，第4项恢复力为软特性的响应曲线

3)在非线性系统中，对应于平衡状态和周期振动的定常解一般有数个，必须研究解的稳定性问题，才能决定各个解的特性，如第5项

4)线性系统中的叠加原理对非线性系统不适用

5)在线性系统中，强迫振动的频率和干扰力的频率相同；而在非线性系统中，在简谐干扰力作用下，其定常强迫振动解中，除有和干扰力同频的成分外，还有成倍数的频率成分存在

多个简谐激振力作用下的受迫振动有组合频率的响应，出现组合共振或亚组合共振，如第7项

6)频率俘获现象

7)广泛存在混沌现象。混沌是在非线性振动系统上有确定的激励作用而产生的非周期解

8)非理想系统、自同步系统等不能线性化，必须研究非线性微分方程才能对其振动规律进行分析

表1　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　非线性系统的物理性质

序号

物理性质

特性曲线(公式)

说    明

1

恢复力为非线性时，频率和振幅间的关系

第3、4项的拐曲可参照

2

固有频率是振幅的函数

弹性恢复力：

系统固有角频率：

系统的固有角频率将随着振幅A的增大而增大(硬特性)或减小(软特性)

非线性系统的运动微分方程：

m——质量，kg；K，a，b——分别为位移的一、三、五次方项的系数；A——位移幅值

3

幅频响应曲线发生拐曲

硬式非线性系统幅频响应曲线的峰部向右拐

软式非线性系统幅频响应曲线的峰部向左拐，见序号1

4

受迫振动的跳跃和滞后现象

当激振力幅值不变时，缓慢改变激振频率，则受迫振动的幅值A将发生如图所示的变化。当ω从0开始增大时，则振幅将沿afb增大，到b点若ω再增大，则A突然下降(或增大)到c，这种振幅的突然变化称为跳跃现象，然后若ω继续增大，则A沿cd减小。反之，当ω从高向低变化时，A将沿dc方向增大，到达c点并不发生跳跃，而是继续沿ce方向增大，到e点，若ω再变小，则振幅又一次出现跳跃现象，这种到c不发生跳跃，而到e才发生跳跃的现象，称为滞后现象。从e点跳跃到f点后，振幅A将沿fa方向减小

除振幅有跳跃现象外，相位也有跳跃现象。下面是非线性系统的相频响应曲线(硬特性)

5

稳定区和不稳定区

在非线性系统幅频响应曲线的滞后环(上面两图的bcef)内，即两次跳跃之间，对应同一频率，有三个大小不同的幅值，也就是对应同一频率有三个解，其中对应be段上的解，无法用试验方法获取，该解就是不稳定的。多条幅频响应曲线对应的这一区域称为不稳定区。正因为如此，就需要对多值解的稳定性进行判别

6

线性叠加原理不再适用

7

简谐激振力作用下的受迫振动有组合频率响应

非线性系统在Q₁sinω₁t和Q₂sinω₂t作用下，不仅会出现角频率为ω₁和ω₂的受迫振动，而且还可能出现频率为mω₁±nω₂(m、n为整数)的受迫振动

非线性系统在Q₁sinω₁t作用下，不仅会出现角频率为ω₁的受迫振动，而且还可能出现角频率等于ω₁/n的超谐波和角频率等于nω₁的次谐波振动。当ω＝ω_n时，除谐波共振外，还可能有超谐波共振和次谐波共振

8

频率俘获现象

非线性系统在受到接近于固有角频率ω_n的频率为ω的简谐激振力作用下，不会出现拍振现象，而是出现不同于ω_n和ω的单一频率的同步简谐振动，这就是频率俘获现象。产生频率俘获现象的频带为俘获带

几个非线性系统的响应曲线见表2

表2　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　非线性系统的响应曲线

恢 复 力

响 应 曲 线

恢 复 力

响 应 曲 线

小于临界阻尼，非线性特性较弱

大于临界阻尼

小于临界阻尼，非线性较强