圆弧齿轮传动的基本原理

圆弧圆柱齿轮简称圆弧齿轮，因其轮齿工作齿廓曲线为圆弧而得名。在国际上称为Wildhaber-Novikov齿轮，简称W-N齿轮

圆弧齿轮分为单圆弧齿轮和双圆弧齿轮，其基本齿廓分别见表圆弧齿轮的滚刀齿形图和表双圆弧齿轮的基本齿廓图。单圆弧齿轮轮齿的工作齿廓曲线为一段圆弧。相啮合的一对齿轮副，一个齿轮的轮齿制成凸齿，配对的另一个齿轮的轮齿制成凹齿，凸齿的工作齿廓在节圆柱以外，凹齿的工作齿廓在节圆柱以内。为了不降低小齿轮的强度和刚度，通常把配对的小齿轮制成凸齿，大齿轮制成凹齿

双圆弧齿轮轮齿的工作齿廓曲线为两段圆弧。在一个轮齿上，节圆柱以外的齿廓为凸圆弧(凸齿)、节圆柱以内的齿廓为凹圆弧(凹齿)，凸凹圆弧之间用一段过渡圆弧连接(也可用切线连接)，形成台阶，称为分阶式双圆弧齿轮。两个配对齿轮的齿廓相同

圆弧齿轮传动分为单圆弧齿轮传动和双圆弧齿轮传动(图1)。以端面圆弧齿廓啮合传动为例，说明圆弧齿轮和渐开线齿轮啮合传动时的本质区别。圆弧齿轮啮合时，在端面上为凸凹圆弧曲线接触，当凸圆弧和凹圆弧的半径相等时，齿面上的接触迹线为沿齿高分布的一段圆弧线，连续啮合传动，这条圆弧接触迹线由啮入端沿齿向线移动到啮出端。渐开线直齿轮啮合时，在端面上为凸凸曲线接触，齿面上的接触迹线为沿齿宽(轴向)分布的一条直线，连续啮合传动，这条接触迹线从齿根(主动轮啮入)移动到齿顶(主动轮啮出)

图1  圆弧齿轮传动

要在制造装配上实现圆弧齿轮沿齿高方向的线接触，那是很难的，它要求啮合凸凹齿廓圆弧半径相等且圆心在节点上，无误差加工，无误差装配。实际上圆弧齿轮齿廓设计要求，凸弧齿廓半径略小于凹弧齿廓半径，凸凹弧圆心分布在节线两侧(称为双偏共轭齿廓，如果凸弧圆心在节线上称为单偏共轭齿廓)，这就给制造装配带来极大的方便。由于凸凹圆弧齿廓有半径差，端面圆弧齿廓啮合时，只有两齿廓圆心与节点共线，才在两齿廓内切点接触(图2中K点)，并立即分离，而与它相邻的端面齿廓瞬间进入接触，又分离，如此重复实现啮合传动，根据这一特点，圆弧齿轮传动又称为圆弧点啮合齿轮传动。相啮合的两齿面经长期跑合(磨合)，凸齿齿廓在接触点处的曲率半径逐渐增大，凹齿齿廓在接触点处的曲率半径逐渐减小，两工作齿面的齿廓曲率半径逐渐趋于相等，两齿廓圆心逐渐趋向节点，就可逐步实现沿齿高方向的线接触，即所谓的线啮合传动(实际上齿面受载变形后是区域接触)

在图2中，K点具有双重性，它是端面两齿廓啮合时的啮合点，又是两齿面的瞬时接触点。作为啮合点，两齿廓在该点的公法线必须通过节点P。啮合点由啮入到啮出在空间沿轴向移动，其轨迹K_aK_b(图3)称为啮合线。P点也在空间沿轴向移动，其轨迹P_aP_b(图3)称为节线(即节点连线，不同于齿廓中的节线)。啮合线和节线都是平行于轴线的直线。作为接触点在齿面上留下的轨迹K_bK_c和K_bK_c'(图3)分别为两条螺旋线

图2  端面上两齿廓在点K接触

图3  圆弧齿轮的啮合线和齿面接触迹线

当相啮合的两齿轮分别以ω₁和ω₂回转时，啮合点K以匀速υ₀沿啮合线K_aK_b移动，同时在两齿面上分别形成两条螺旋接触迹线，其螺旋参数分别为

传动比　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

上式表明传动比与角速度成正比，与螺旋参数成反比。同一齿面的螺旋参数是不变的，所以齿面上接触迹线位置的偏移并不影响传动比。设d₁、d₂分别为两齿轮的节圆直径，β₁、β₂分别为两齿轮节圆柱上的螺旋角，节圆柱上的螺旋参数分别为

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　式(1)

齿轮啮合时，两齿轮的节圆线速度相等，则

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　式(2)

比较式(1)和式(2)得出β₁＝β₂＝β

由于圆弧齿轮的啮合线平行于轴线，在啮合传动的每一瞬间，在同一轴截面(包括端面)上只能有一个啮合点，所以其端面重合度为零，圆弧齿轮必须制成斜齿轮才能啮合传动。为了保持连续啮合，必须在前一对齿脱开之前，后一对齿已进入啮合，即

纵向重合度(图4)。为了保证匀速传动，两齿轮的轴向齿距必须相等，即p_x1＝p_x2＝p_x，而

由于β₁＝β₂＝β，所以m_n1＝m_n2＝m_n，即一对相啮合的齿轮的模数必须相等

综上所述，要保证圆弧齿轮能以恒定传动比连续匀速传动，必须使一对啮合齿轮的模数相等、螺旋角相等方向相反、纵向重合度等于或大于1。这就是圆弧齿轮连续啮合传动的三要素

单圆弧齿轮啮合传动，当主动轮是凸齿齿廓时，顺着旋转方向看，主动轮和被动轮齿廓在节点后啮合(接触)，称为节点后啮合传动，反之称为节点前啮合传动(图5a、b)，单圆弧齿轮传动只有一条啮合线。双圆弧齿轮啮合传动(图5c)，既有节点前啮合(图中K_A点)，又有节点后啮合(图中K_T点)，有两条啮合线，称为节点前后啮合传动或双啮合线传动。双圆弧齿轮啮合传动时，同一轮齿上的凸凹齿廓都参与啮合，在参数相同条件下，其接触点数比单圆弧齿轮增加一倍，减小了齿面接触应力。另外双圆弧齿轮轮齿根部齿厚较大，提高了抗弯强度。所以双圆弧齿轮有较高的承载能力，已得到广泛应用，正逐步取代单圆弧齿轮传动

图4　轴向齿距p_x和纵向重合度

图5  节点前、后啮合情况